EL NÚMERO MISTERIOSO: DESAFÍO ARITMÉTICO

En la web leí un problema muy interesante, es el siguiente:

Calcula el número de nueve cifras abcdefghi formado con las cifras del 1 al 9 (y no necesariamente en ese orden) que verifica las siguientes condiciones:

a es divisible por 1
ab es divisible por 2
abc es divisible por 3
abcd es divisible por 4
……
abcdefghi es divisible por 9

Con un conocimiento básico de aritmética, se sabe que existen 362880 (9!) números de 9 dígitos que se pueden formar con la condición que todos sus dígitos sean diferentes sin que haya ceros. ¿Cómo entonces encontrar el número pedido entre tantas posibilidades?. Esto fue lo que llamó mi atención y me estimuló para saber si usando los criterios de divisibilidad la cantidad de números que cumplan todos los requisitos puede disminuir notablemente. Y grande fue mi sorpresa cuando concluí que sólo un número cumple todas las condiciones planteadas.

¿Cómo lo resolví?. ¿Usted amigo cibernauta se anima a resolverlo?. Aquí describiré paso a paso mi solución, pero amigo primero propóngase resolver por su propia cuenta el problema. Luego de hacerlo, lea las siguientes líneas

Solución: Si ab es múltiplo de 2, abcd es múltiplo de 4, abcdef es múltiplo de 6 y abcdefgh es múltiplo de 8, entonces b,d,f y h son pares necesariamente y en consecuencia los otros 5 dígitos tendrán que ser impares.

El numeral abcde es múltiplo de 5, entonces e tiene que ser 5 porque no puede ser cero.

Como abc es múltiplo de 3, a+b+c es múltiplo de 3. Además abcdef es múltiplo de 6 , lo que implica que es al mismo tiempo múltiplo de 3, esto significa que a+b+c+d+e+f es múltiplo de 3. Entonces d+e+f es múltiplo de 3. Pero como e es 5, ya podemos tantear para d y f sabiendo que son pares. Encontramos 4 valores para d y f.

d = 2 y f = 8
d = 4 y f = 6
d = 6 y f = 4
d= 8 y f = 2

Luego, como abcd tiene que ser múltiplo de 4, entonces cd tiene que ser múltiplo de 4. Sabiendo que c es impar diferente de 5 y d es par, podemos ir tanteando para c y d. Encontramos que d puede ser 2 o 6.

Entonces nos quedan sólo 2 alternativas:

d = 2 y f = 8
d = 6 y f = 4

Con esas alternativas, es obvio que habrá también 2 alternativas para el numeral y son las siguientes:

abc258ghi
abc654ghi

Para cada alternativa le haremos el análisis de divisibilidad por 8

1) abc258ghi: Si este numeral es múltiplo de 8, entonces 8gh tiene que ser múltiplo de 8, sabiendo que g es impar y h es par. Podemos ir tanteando para g y h, sabiendo que los dígitos no pueden repetirse ni pueden ser cero. Encontramos 2 alternativas:

g = 1 y h = 6
g = 9 y h = 6

Vemos que ya encontramos 3 dígitos pares (2, 8 y 6), por lo que el otro dígito (b) es 4. Entonces las posibilidades son:

1.1) a4c25816i: Aquí falta colocar el 3,7 y 9. El numeral a4c es múltiplo de 3, entonces a+4+c es múltiplo de 3. Ninguna de las combinaciones de los posibles valores de a y c hacen que cumpla esta condición, luego en esta alternativa no hay ninguna solución.

1.2) a4c25896i: Aquí falta colocar el 1,3 y 7. El numeral a4c es múltiplo de 3, entonces a+4+c es múltiplo de 3. Combinando las alternativas, vemos que a = 1 o 7 y c = 1 o 7. En ambos casos i = 3. Entonces tenemos las siguientes alternativas:

1.2.1) 147258963. El numeral 1472589 no es múltiplo de 7, por lo que esta alternativa está descartada.

1.2.2) 741258963. El numeral 7412589 no es múltiplo de 7, así que esta alternativa también está descartada.

2) abc654ghi: Si este numeral es múltiplo de 8, entonces 4gh tiene que ser múltiplo de 8, sabiendo que g es impar y h es par. Podemos ir tanteando para g y h, sabiendo que los dígitos no pueden repetirse. Encontramos 2 alternativas:

g = 3 y h = 2
g = 7 y h = 2

Vemos que ya encontramos 3 dígitos pares (6, 4 y 2), por lo que el otro dígito (b) es 8. Entonces las posibilidades son:

2.1) a8c65432i: Aquí falta colocar el 1,7 y 9. El numeral a8c es múltiplo de 3, entonces a+8+c es múltiplo de 3. Combinando las alternativas, vemos cuatro posibilidades:

2.1.1) Esta alternativa surge cuando a = 1 y c = 9, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 1896543, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad está descartada.

2.1.2) Esta alternativa surge cuando a = 9 y c = 1, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 9816543, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad también se descarta.

2.1.3) Esta alternativa aparece cuando a = 7 y c = 9, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 7896543, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad está descartada.

2.1.4) Esta alternativa aparece cuando a = 9 y c = 7, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 9876543, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad también se descarta.

2.2) a8c65472i: Aquí falta colocar el 1,3 y 9. El numeral a8c es múltiplo de 3, entonces a+8+c es múltiplo de 3. Combinando las alternativas, vemos aquí también cuatro posibilidades:

2.2.1) Esta alternativa surge cuando a = 1 y c = 3, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 1836547, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad está descartada.

2.2.2) Esta alternativa surge cuando a = 3 y c = 1, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 3816547, que SI es múltiplo de 7. Entonces el numeral completo sería:

381654729: La suma de dígitos es 45, es decir, el numeral es múltiplo de 9. En consecuencia el numeral SI cumple todas las condiciones.

2.2.3) Esta alternativa aparece cuando a = 1 y c = 9, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 1896547, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad está descartada.

2.2.4) Esta alternativa aparece cuando a = 9 y c = 1, entonces tenemos el numeral de siete dígitos 9816547, que no es múltiplo de 7. En consecuencia esta posibilidad también se descarta.

Conclusión: Existe sólo un número que cumple todas las características que planteaba el problema, y es 381654729.